Дифференцируемость СИЗОПа

Если $f(x, y)$ и $f'_x(x, y)$ непрерывны на $[a, b] \times [c, d]$, $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ дифференцируемы на $[a, b]$ и $c \le \varphi(x) \le \psi(x) \le d$, тогда $F(x) = \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(x, y) dy$ дифференцируем на $[a, b]$ и $$F'(x) = \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f'_x(x, y) dy - f(x, \varphi(x))\varphi'(x) + f(x, \psi(x))\psi'(x)$$

Рассмотрим функцию $\Phi(x, p, q) = \int_{p}^{q} f(x, y)dy$. Функция дифференцируема, так как $\Phi'_q(x, p, q) = f(x, q)$ и $\Phi'_p(x, p, q) = -f(x, p)$ непрерывны, а $$ \begin{aligned} \Phi'_x(x, p, q) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Phi(x + \Delta x, p, q) - \Phi(x, p, q)}{\Delta x} = \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \int_{p}^{q} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}dy = \lim_{\Delta x \to 0} \int_{p}^{q} f'_x(c, y)dy = \int_{p}^{q} f'_x(x, y)dy \end{aligned} $$ Осталось воспользоваться теоремой о дифференцируемости сложной функции для $F(x) = \Phi(x, \varphi, \psi)$.